Cvičení 710: problémové úlohy

1. V počítačové hře se střídají symboly v pravidelném rytmu: na obrazovce se objeví dva symboly, pak tři symboly, pak čtyři. Pak opět dva, pak tři a pak čtyři. Takto stále dál. Druh symbolu se ovšem také pravidelně střídá: střídají se celkem čtyři druhy: trojúhelníčky, křížky, kolečka a vykřičníky.
Příklad:
(1. tah) ∆∆ -> (2. tah) ××× -> (3. tah) OOOO -> (4. tah) !! ->
(5. tah) ∆∆∆ -> (6. tah) ×××× -> (7. tah) OO -> (8. tah) -> !!!

a) Jak bude vypadat 20. tah?

b) Po kolika tazích se začne opakovat úplně stejná série tahů?

c) Jak bude vypadat 2000. tah?

2. Z bílých a šedích kostek stavíme na zemi stavbu podle následujících pravidel:
Na zemi se tvoří souvislý pás kostek. Na každé třetí kostce vyroste „věž“.
Žádné dvě kostky, které se dotýkají, nesmí mít stejnou barvu.
Každá druhá věž je vysoká pouze jednu kostku.
Výšky ostatních věží se pravidelně střídají: věže jsou ze dvou, nebo ze tří kostek.

a) Kolik kostek bychom potřebovali na takovouto stavbu, která by byla široká 36 kostek?

b) Kolik šedých kostek je potřeba na stavbu, která je široká 100 kostek?

c) Kolik bílých kostek je potřeba na stavbu, která je široká 333 kostek?

3. Čtverec o straně dlouhé 1 cm se v počítačové animaci mění, protože se mu prodlužují strany. Jeho vodorovné strany se v 1. kroku prodlouží o 1 cm, ve 2. kroku o 2 cm, ve 3. kroku opět o 1 cm a ve 4. kroku opět o 2 cm. V každém dalším kroku pokračuje stejný rytmus: střídá se prodloužení o 1 cm a 2 cm. Svislé strany obrazce se také prodlužují v každém kroku, ale podle jiného rytmu: v 1. kroku o 1 cm, ve 2. kroku o 2 cm, ve 3. kroku o 3 cm, ve 4. kroku o 1 cm, 5. kroku o 2 cm a tak dále. Opakují se tedy prodloužení o 1 cm, 2 cm a 3 cm. 

a) Jaké budou rozměry obrazce po 10. kroku?

(Zapiš pouze čísla bez jednotek a bez mezer. Pokud ti například vyjdou rozměry 22 cm a 28 cm, zapiš jen “22×28”.)

b) Po kolikátém tahu se budou délky svislých a vodorovných stran poprvé lišit o 30 cm?

c) Jak velký obsah bude mít obrazec po 200. kroku?

(Odpověz číslem vyjadřujícím počet čtverečních centimetrů. Nepiš jednotku, jen číslo.)

4. Malý Kája si staví z šedých a bílých čtverečků stavbu podle následujícího vzoru: První stavba je „elko“ z pěti šedých čtverečků. Druhá stavba vznikne přidáním bílých čtverečků tak, aby se „elko“ obestavělo shora i zprava souvislou vrstvou bílých čtverečků. Třetí stavba vznikne podobně, jen Kája tentokrát přidá vrstvu šedých čtverečků. Na obrázku je znázorněna ještě čtvrtá stavba.

a) Kolik čtverečků Kája přidá, když ze 7. stavby bude chtít vytvořit 8. stavbu?

b) Z kolika čtverečků (bílých i šedých dohromady) bude tvořena 18. stavba?

c) Kolik šedých čtverečků bude obsahovat 20. stavba?

5. V každém čtverci jsou šedou barvou označena všechna čtyři políčka v rozích a navíc všechna políčka na jedné z úhlopříček. Která úhlopříčka to je, určuje pořadí čtverce: obě úhlopříčky se pravidelně střídají.

a) Kolik šedých políček bude obsahovat čtverec, který obsahuje celkem 100 bílých a šedých políček?

b) Z kolika políček bude tvořena strana čtverce, který obsahuje 26 šedých políček?

c) Kolik bílých políček celkem budou obsahovat čtyři čtverce, které mají strany dlouhé 8, 9, 10 a 11 políček?

6. Do levé kapsy si každý den přidám jednu korunovou minci. Do druhé kapsy si každý den přidám jednu pětikorunovou minci. V den, kdy jsem s tímto zvykem začal, jsem ale kapsy neměl prázdné: v obou kapsách jsem měl určitý obnos, v obou kapsách stejný. Dnes mám v jedné kapse 50 Kč a v druhé 190 Kč.

a) Kolik korun jsem měl v levé a pravé kapse, než jsem začal přidávat každý den mince?

b) Kolikátý den se stalo, že jsem po vložení pětikoruny a koruny do svých kapes měl v pravé kapse o 60 Kč více než v levé kapse?

c) Kolikátý den budu mít v obou kapsách dohromady poprvé více než tisíc korun?